Dans une fonderie, le taux de refroidissement d'un métal en fusion suit la loi suivante : $$T(t) = T_0 - k \cdot \ln(t + 1)$$

où :
• $T_0$ est la température initiale du métal,
• $k$ est un coefficient de refroidissement, et
• $t$ représente le temps en heures après le début du refroidissement.

1. Calculez la dérivée de la fonction $T(t)$ par rapport à $t$.
2. Déterminer le tableau ed variation dans le cas où $k>0$.
3. Déterminer le tableau ed variation dans le cas où $k<0$.
4. Utilisez une intégrale pour calculer la quantité totale de chaleur perdue sur une période donnée $[0, S]$, où $S$ est le temps total d'observation.
5. Déterminez la limite de $T(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini en fonction des valeurs de $k$.
6. Supposons que $T_0 = 1000$ (température initiale en degrés Celsius) et $k = 0.05$ (coefficient de refroidissement en degrés Celsius par heure) :
   1. Calculer la température après 2 heures.
   2. Calculer la quantité totale de chaleur perdue sur une période de 5 heures.
   3. Détermier la limite de $T(t)$lorsque $t$ tend vers l'infini.

Dans le cadre du recyclage, la quantité de déchets non recyclés $Q(t)$ peut être modélisée par une fonction logarithmique de la forme : $$Q(t) = Q_0 - \frac{k}{\ln(1+t)}$$

où :
• $Q_0$ est la quantité initiale de déchets non recyclés,
• $k$ eest un coefficient de décroissance, et
• $t$ représente le temps en années depuis le début du processus de recyclage.

1. Calculez la dérivée de la fonction $Q(t)$ par rapport à $t$.
2. Déterminer le tableau de variation dans le cas où $k>0$.
3. Déterminer le tableau de variation dans le cas où $k<0$.
4. Déterminer la limite de $Q$ en $+\infty$ lorsque $k>0$.
5. Déterminer la limite de $Q$ en $+\infty$ lorsque $k<0$.
6. Supposons que $Q_0 = 3000$ tonnes (quantité initiale de déchets non recyclés). $k = 1000$ tonnes (coefficient de décroissance).
   1. Calculer la quantité de déchets recyclés après 2 heures.
   2. Calculer la quantité totale de déchets recyclée sur une période entre 3 et 8 heures.Donnre une valeur approchée à 3 chiffres après la virgule.